Pemrograman Linier pada Bidang Pencampuran Bahan

Berikut contoh aplikasinya dalam bentuk soal:

Perusahaan V memproduksi tiga tipe minuman jus kaleng, yaitu a, b, dan c menggunakan strawberi, anggur, dan apel. Pasokan harian terbatas, sebesar 200 ton untuk strawberi, 100 ton untuk anggur, dan 150 ton untuk apel. Biaya per ton strawberi, anggur, dan apel adalah $200, $100, dan $90. Masing-masing buah per-ton dapat membuat 1500 lb strawberi jus, 1200 lb jus anggur, dan 1000 lb jus apel. Minuman a berbanding 1:1 dengan campuran strawberi dan apel. Minuman b berbanding 1:1:2 dengan campuran strawberi, anggur, dan apel. Minuman c berbanding 2:3 dengan campuran anggur dan apel. Semua minuman berukuran 1 lb. Harga perkaleng adalah $1.15, $1.25, dan $1.20 untuk a,b,dan c. Tentukan solusi optimal (dari buku "Operations Research An Introduction")

Jawab :

Agar memudahkan pendefinisian, maka dibuat tabel

Menentukan Variable

X1 = Penggunaan strawberi A

X2 = Penggunaan anggur A

X3 = Penggunaan apel A

X4 = Penggunaan strawberi B

X5 = Penggunaan anggur B

X6 = Penggunaan apel B

X7 = Penggunaan strawberi C

X8 = Penggunaan anggur C

X9 = Penggunaan apel C

Y1 = Jumlah minuman A (1 lb kaleng)

Y2 = Jumlah minuman B (1 lb kaleng)

Y3 = Jumlah minuman C (1 lb kaleng)

Z1,2,3 = Jumlah buah strawberi/ anggur/ apel yg digunakan (dalam lb, misal 1 ton/1500lb)

A.    Tujuan

Max keuntungan (jumlah minuman kaleng A,B,C)

Max 1.15y1+1.25y2+1.2y3-200/1500z1-100/1200z2-90/1000z3

$200 samadengan 1500 lbs, maka 1 lbs = 200/1500=0.1333333

B.    Kendala

Untuk menentukan bahwa 1 kaleng(1 lb) terdiri dari rasio kombinasi buah minuman  jus kaleng. Variabel Y digunakan untuk mengetahui berapa jumlah kaleng (1 lb) yg dapat dihasilkan.

A   ; x1+x3 - y1=0

B   ; x4+x5+x6 - y2=0

C   ; x8+x9 - y3=0

Menentukan jumlah buah yg digunakan untuk menyusun minuman A, B, dan C. Angka rasionya dibalik agar mendapatkan jumlah senilai rasio

A   ; x1-x3=0 (strawberi=1, apel=1)

B   ; x4-x5=0, 2x5-x6=0 (strawberi=1, anggur=1, apel=2)

C   ; 3x8-2x9=0 (anggur=2, apel=3)

Batasan jumlah buah dan jus per hari. Misal 1 hari strawberi maksimal 200 ton, 1 ton dapat membuat 1500 lb jus. Maka 200x1500=300.000. Variabel Z digunakan untuk mengetahui berapa jumlah buah yg dipergunakan (dalam satuan LB)

Strawberi x1+x4<=300.000lb; x1+x4-z1=0

Anggur    x5+x8<=120.000lb; x5+x8-z2=0

Apel      x3+x6+x9<=150.000lb; x3+x6+x9-z3=0

Formula Keseluruhan Adalah

Max 1.15y1+1.25y2+1.2y3-200/1500z1-100/1200z2-90/1000z3

x1+x3 - y1=0

x4+x5+x6 - y2=0

x8+x9 - y3=0

x1-x3=0

x4-x5=0, 2x5-x6=0

3x8-2x9=0

x1+x4<=300.000lb; x1+x4-z1=0

x5+x8<=120.000lb; x5+x8-z2=0

x3+x6+x9<=150.000lb; x3+x6+x9-z3=0

Berikut hasil dari formulasi di atas menggunakan solver Ms. Excel 

Tambahan

Jika ingin mengetahui berapa penggunaan buah per ton nya maka gunakan formula berikut dan ganti dengan beberapa formula di atas

Yz1<=200, Yz2<=100, Yz3<=150

X1+x4=1500yz1, atau x1+x4–1500yz1=0

X5+x8=1200yz2, atau x5+x8-1200yz2=0

X3+x6+x9=1000yz3, atau x3+x6+x9-1000yz3=0

Ganti fungsi tujuannya menjadi

Max 1.15y1+1.25y2+1.2y3 - 200yz1 - 100yz2 - 90yz3

Formula Keseluruhan Tambahan Adalah

Max 1.15y1+1.25y2+1.2y3 - 200yz1 - 100yz2 - 90yz3

Yz1<=200, Yz2<=100, Yz3<=150

X1+x4=1500yz1, atau x1+x4–1500yz1=0

X5+x8=1200yz2, atau x5+x8-1200yz2=0

X3+x6+x9=1000yz3, atau x3+x6+x9-1000yz3=0

x1+x4-z1=0

x5+x8-z2=0

x3+x6+x9-z3=0

x1+x3 - y1=0

x4+x5+x6 - y2=0

x8+x9 - y3=0

x1-x3=0

x4-x5=0, 2x5-x6=0

3x8-2x9=0

Berikut hasil dari formulasi di atas menggunakan solver Ms. Excel dan software Lindo

sumber soal : buku Operations Research An Introduction (Hamdy A Taha)